Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Содержание
  1. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  2. Многоэтажные дроби
  3. Специфика работы с многоэтажными дробями
  4. Дроби. Числитель и знаменатель дроби. Свойства дроби
  5. Приведение дробей к общему знаменателю
  6. Сложение обыкновенных дробей
  7. Вычитание обыкновенных дробей
  8. Умножение обыкновенных дробей
  9. Деление обыкновенных дробей
  10. Взаимно обратные числа
  11. Десятичные дроби
  12. Сложение десятичных дробей
  13. Вычитание десятичных дробей
  14. Умножение десятичных дробей
  15. Деление десятичных дробей
  16. Отрицательные дроби
  17. Сложение и вычитание
  18. Умножение и деление
  19. Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь
  20. Дроби
  21. Умножение числителя и знаменателя на корень
  22. Числитель и знаменатель дроби
  23. как убрать дробь из числителя?
  24. Простые дроби, знаменатель, числитель
  25. Совет 1: Как перевернуть дробь
  26. Общий взгляд на преобразование дробей
  27. Что такое дробь?
  28. От обыкновенных дробей к дробям общего вида
  29. Виды преобразований дробей
  30. Преобразование выражений в числителе и знаменателе
  31. Изменение знака перед дробью,  в ее числителе, знаменателе
  32. Приведение дроби к новому знаменателю
  33. Сокращение дробей
  34. Представление дроби в виде суммы
  35. Конспект по математике
  36. Правильная и неправильная дробь
  37. Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной
  38. Сравнение дробей
  39. Сложение и вычитание дробей
  40.  Умножение дробей
  41.  Деление дробей
  42. Нахождение части от целого (дроби от числа)
  43. Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/complex_expressions/

Дроби. Числитель и знаменатель дроби. Свойства дроби

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Если ad=bc, то две дроби \frac{a}{b}и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35и \frac{9}{15}, так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9, \frac{12}{7}и \frac{24}{14}, так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24.

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b}и \frac{am}{bm}, так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20}(числитель и знаменатель делится на число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5, то есть \frac{15}{20}=\frac 34.

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3}и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8. Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3}на 8.

Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}. Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8}на 3. Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}.

Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24.

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b};

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12}.

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b};

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d},

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40}.

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc},

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c}.

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2}.

Взаимно обратные числа

Если ab=1, то число b является обратным числом для числа a.

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9}, так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1, для числа 5 — \frac{1}{5}, так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, …, 10n.

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044.

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63.

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2.

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12.

Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две).

Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8 : 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9}.

Источник: https://academyege.ru/page/drobi.html

Отрицательные дроби

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

  • Сложение и вычитание
  • Умножение и деление

Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

-2 : 7    и    2 : (-7),

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7 = -2    и    2 : (-7) = 2 .
7-7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

Пример.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 +  (-1)  = -8 + -5 .
542020

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8 + -5 = -8 + (-5) = -13 = 13 .
2020202020

Таким образом:

2 +  (-1)  = -8 + -5 =
542020

-8 + (-5) = -13 = 13 .
202020

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

Пример.

5 – (-11)  = 5 + (+11)  =
12121212

5 + 11 = -5 + 11 = 6 .
12121212

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

Пример.

2 · (-4)  = -2 · -4 = -2 · (-4) = 8 .
35353 · 515

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:

2 · (-4)  = 2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
35353 · 515

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

Пример.

2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
353 · 515

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

4 ·  (-2)  = 4 · 2 = 8 .
535 · 315

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

Пример.

2 : (-4)  = -2 : -4 =
3535

-2 · 5 = -10 = 10 .
3 · (-4)-1212

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Новое на сайте|contact@izamorfix.ru
2018 − 2020©izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/algebra/otritsatelnye_drobi.html

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Вот примеры таких дробей: , .

Учитывая приведенную информацию и смысл слова «освободиться», очень естественно воспринимается следующее определение:

Определение.

Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби – это преобразование, при котором дробь с иррациональностью в знаменателе заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.

Часто можно слышать, что говорят не освободиться, а избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Смысл при этом не меняется.

Например, если от дроби перейти к дроби , значение которой равно значению исходной дроби и знаменатель которой не содержит знака корня, то можно констатировать, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

8 августа 2011Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции.

Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  • Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  • Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
  • Затем — деление и умножение;

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь.

И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача.

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Иногда в результате вычислений можно получить громоздкие, «многоэтажные» дроби.

Для упрощения вида дроби их тоже нужно перевернуть. Переворачиваются такие дроби по следующим правилам: x/(y/c) = (x*c)/y, (x/y)/c = x/(y*c), (x/y)/(b/c) = (x*c)/(y*b).

4 Полезно поменять вид дроби и в случае, когда в знаменателе присутствует иррациональное число.

Дроби

Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3}и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8.

Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24.а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним.
Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби .

Решение.

Ответ:

.

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби .

Решение.

Ответ:

.

Умножение числителя и знаменателя на корень

Когда выражение в знаменателе дроби имеет вид , где выражение A не содержит знаков корней, то освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на . Это действие возможно, так как не обращается в нуль на ОДЗ переменных для исходного выражения. При этом в знаменателе получается выражение , которое легко преобразовать к виду без знаков корней: .

Важно

Заслуживают внимания следующие моменты.

Когда запись дроби содержит в знаменателе знак корня (радикал), то говорят, что в знаменателе присутствует иррациональность. Вероятно, это связано с тем, что записанные при помощи знаков корней числа часто являются иррациональными числами. В качестве примера приведем дроби , , , , очевидно, знаменатели каждой из них содержат знак корня, а значит и иррациональность.

В старших классах неизбежна встреча с дробями, иррациональность в знаменатели которых вносят не только знаки квадратных корней, но и знаки кубических корней, корней четвертой степени и т.д.

Числитель дроби — Число, показывающее количество взятых долей.

Запись: \[ \frac{3}{5} \] или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной: \[ \frac{3}{5} — правильная дробь. \] Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы.

В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Например: \[ \frac{5}{5} , \frac{17}{5} — неправильные дроби.

Числитель и знаменатель дроби

.

Рекомендую посетить и изучать (вспоминать) тему дробей шаг за шагом.Самое главное понять, запомнить и осознать, что ДРОБЬ – это ЧИСЛО!!!

Обыкновенная дробь – это число вида:Число расположенное «сверху» (в данном случае m) называется числителем, число расположенное снизу (число n) называется знаменателем.

Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места.

Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером.

У тех, кто только коснулся темы частенько возникает путаница – что как называется.Вот вам приёмчик, как навсегда запомнить – где числитель, а где знаменатель.

Данный приём связан со словесно-образной ассоциацией.

как убрать дробь из числителя?

10-11 класс Прикрепленные изображения Rudencko 19 янв.

2016 г., 23:29:03 (3 года назад) 0 0 0 555550000 20 янв. 2016 г., 0:50:27 (3 года назад) Дробь убирается из знаменателя,то есть переносится в числитель 0 Ответить Ответить Имя E-mail Текст вашего ответа Введите текст с картинки Ответить Dianadianag20 / 19 янв.

2016 г., 14:14:05 10-11 класс Lolitaeg / 18 янв. 2016 г., 5:43:02 10-11 класс Lady135 / 18 янв.

2016 г., 4:14:54 1) х2-4х+4=0 2) х2-9х-22=0 10-11 класс Kirill12345678901 / 17 янв.

27 июля 2011Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей».

Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями.

А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом: Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Простые дроби, знаменатель, числитель

Простой дробью (или просто, дробью) называется часть единицы или несколько равных частей (долей) единицы.

простые дроби, числитель, знаменатель.

Кольцо разделено на 5 секторов. 3 из них красные.

Покажем применение этого подхода на примерах.

Пример.

Решение.

Ответ:

В случае, когда в знаменателе находятся множители или , где m и n некоторые натуральные числа, числитель и знаменатель надо умножить на такой множитель, чтобы после этого выражение в знаменателе можно было преобразовать к виду или , где k – некоторое натуральное число, соответственно. Дальше легко перейти к дроби без иррациональности в знаменателе. Покажем применение описанного способа избавления от иррациональности в знаменателе на примерах.

Пример.

Решение.

а) Ближайшее натуральное число, превосходящее 3 и делящееся на 5, есть 5.
Чтобы показатель шестерки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на .

Например, 12 = 12/1 — получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число.

Единственное ограничение — знаменатель должен быть отличен от нуля.

Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!» Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной.

Например, 1/3 ≠ 5/4, поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти

Совет 1: Как перевернуть дробь

Пример: (2/5)*(5/2) = 1. 2 Как видно из предыдущего примера, если разделить единицу на какое-либо число, то мы получим число, обратное ему.

Но деление числа единицы на число — это число х в степени -1. Следовательно, (x/y) = (y/x)(-1).

Пример: (2/3) = (3/2)(-1).

Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить \[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}2+6х+3х+9\] Приведем подобные слагаемые в полученном выражении \[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}2+6х+3х+9=\] \[{=2х}2+9х+9\] Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов $\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}2-х-10х+5={2х}2-11х+5$ Тогда уравнение примет вид: \[\frac{{2х}2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\] Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление.
Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример.
Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому.

Москва и МО С-Петербург и ЛО Бесплатный звонок по России

Источник: https://kok-stroy.ru/kak-znamenatel-s-h-perenesti-v-chislitel-chtoby-ubrat-drob

Общий взгляд на преобразование дробей

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Определение 1

Дробь – это выражение, которое записывается в виде AB или А/В, где A и B являются некоторыми произвольными числами.

Существует еще несколько определений.

Определение 2

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B, называют чертой дроби или дробной чертой.

Определение 3

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем,  а под – знаменателем.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

Пример 1

К примеру 15, 26, 127, 31, которые можно записать как 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Пример 2

Например, 1+35, 9-516, 2·79·12.

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a+bc, a-bc, a·cb·d.

Определение 4

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей ac+bc=a+bc, ac-bc=a-bc, ab·vd=a·cb·d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a, тогда дробная имеет вид b/c, получаем дробь вида a·c+bc, откуда понятно появления таких дробей 2·11+311, 5·2+12 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1:a-(2·b+1)=1a-2·b+1, 5-1,7·3:2·3-4:2=5-1,7·32·3-4:2, где частное 4:2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5-1,7·32·3-42

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Пример 3

Например, 1×2+1, x·y-2·y20,5-2·x+y3.

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Пример 4

Например, x·x+14×2·x2-12·x3+3, 1+x2·y·(x-2)1x+3·x1+2-x4·x5+6·x.

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

Пример 5

anbn, 2·x+x23x13-12·x, 2×2+33×2+3, ln(x-3)ln e5, cos2α-sin2α1-1cos2α.

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид  x+1x3log3sin2x+3, lgx+2lgx2-2·x+1.

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

Определение 5

  • преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
  • изменение знака перед дробным выражением;
  • приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
  • представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Определение 6

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A/B, то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A1/B1. Необходимо доказать справедливость равенства A/A1=B/B1при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A1 и B и B1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A/B и A1/B1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Пример 6

Для примера возьмем дробь вида 2/18, которую преобразуем к 22·3·3. Для этого знаменатель раскладываем на простые множители.

Дробь x2+x·yx2+2·x·y+y2=x·x+y(x+y)2 имеет числитель вида x2+x·y, означает, что необходимо произвести замену на x·(x+y), которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x.

Знаменатель заданной дроби x2+2·x·y+y2свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является (x+y)2.

Пример 7

Если дана дробь вида sin23·φ-π+cos23·φ-πφ·φ56,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ1112. Тогда получим, что 1φ1112 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью,  в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

Определение 7

  • при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит  как _-A-B=AB, где А и В являются некоторыми выражениями;
  • при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что –AB=AB;
  • при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что -A-B=AB.

Опиши задание

Доказательство

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком -1, а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что -A-B=-1·A:-1·B. Сгруппировав множители, имеем, что

-1·A:-1·B=((-1):(-1)·A:B==1·A:B=A:B=AB

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

–AB=(-1)·(((-1)·A):B)=(-1·-1)·A:B==1·(A:B)=A:B=AB-A-B=(-1)·(A:-1·B)=((-1):(-1))·(A:B)==1·(A:B)=A:B=AB

Рассмотрим примеры.

Пример 8

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3/7 к виду -3-7, –37, -3-7, тогда аналогично выполняется с дробью вида -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x.

Преобразования выполняются следующим образом:

1) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-(-1+x-x2)-223-lnx2+3x+sin2x·3x==1-x+x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3×2) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–(-1+x-x2)223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-1-x+x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3×3)-1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–1+x-x2-223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==–1+x-x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a·mb·m=ab и a:mb:m=ab, где a, b, m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a, b , m и всех a, кроме b≠0 и m≠0. То есть мы получаем, что если числитель дроби А/В с A и C, которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M, не равное 0, тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A·MB·M=AB и A:MB:M=AB.

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю,  сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Рассмотрим примеры.

Пример 9

Если взять дробь x+10,5·x3 и умножить на 2, тогда получим, что новый знаменатель получится 2·0,5·x3=x3, а выражение примет вид 2·x+1×3.

Пример 10

Для приведения дроби 1-x2·x23·1+ln x к другому знаменателю вида 6·x·1+ln x3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3·x13·(1+ln x)2. В итоге получаем дробь 3·x13·1+ln x2·1-x6·x·(1+ln x)3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Пример 11

Или дробь вида x3·x3·x2·(2×2+1+3)x3·x3·2×2+1+3·3+13·x, где сокращение производится при помощи x3, x3, 2×2+1+3или на выражение вида x3·x3·2×2+1+3. Тогда получим дробь x23+13·x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x223·(1-cos2x)2·sinx2·cosx22·x13, тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x13·x213·sin2xsin2x·x13. Это даст возможность сократить ее на x13·sin2x.

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A1, A2,…, An, а знаменатель обозначается B, тогда эта дробь может быть представлена как A1/B, A2/B, …, An/B.

Определение 8

Для этого зафиксируем это A1+A2+…+AnB=A1B+A2B+…+AnB.

Данное преобразование в корне отличается от  сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Пример 12

Дана дробь вида sin x-3·x+1+1×2, которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin xx2-3·x+1×2+1×2 или sin x-3·x+1×2+1×2 или sin xx2+-3·x+1+1×2.

Любая дробь, имеющая вид А/В представляется  в виде суммы дробей любым способом.  Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А0, которое даст возможность прейти к A+A0B-A0B.

Разложение дроби на простейшие  является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/obschij-vzgljad-na-preobrazovanie-drobej/

Конспект по математике

Как знаменатель с х перенести в числитель чтобы убрать дробь

Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.

Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b —  где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.

Правильная и неправильная дробь

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.

Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной

Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.

Сравнение дробей

  1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
  2. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

  • привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

  1. найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем);
  2. разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем  сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!

Общий случай сложения (вычитания) дробей.

 Умножение дробей

  1. Произведение двух дробей a/b и c/d равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
  2. При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1.

 Деление дробей

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.

При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.

Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.

Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.

Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C/

Адепт в юриспруденции
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: